泡沫的重量
科學月刊 1973年7月43期
作者：黃博治改寫
黃博治，是東元創辦人之一黃土英的公子，曾任東元電機副董事長、中華民國產業科技發展協會理事長、中華軌道車輛工業發展協會理事長，現為流體機械大廠大豐機器副董事長、東穎惠而浦董事長。
黃博治為台大機械系畢業，並取得東京大學碩士學位，曾在台大機械系任教，可說是一位學者型的企業家，在機械業更是桃李滿天下，亞崴機電總經理關永昌、台灣鑽石董事長藍敏雄、光大企業總經理柯拔希等，都是他的學生。
【摘要】這是大千世界裏隨時都可以看到的現象。不去想的話，現象仍歸是現象；經過深入思考以後，我們便能暸解現象的科學原理。
在一次聚會中，有個人眼睛盯著裝了啤酒的杯子，提出了一個奇怪的問題。
「看到杯子裏的泡沫又急又多地冒出來，就會使人想到杯子的重量也許會減輕。當泡沫冒出來時，到底杯子的重量會不會改變呢？」
由這一個話題慢慢延伸到譬如將一隻蒼蠅放在闊口的瓶中，秤其重量，這時如果蒼蠅停在瓶底或在瓶中飛舞，兩種情形對於瓶重有什麼不同呢？又如在籠中放入一隻鳥，對於籠重又有什麼差別呢？疑問及議論百出，綜合總結即為下面的記錄。
A：首先我們把水裝在容器內，並且秤秤它的重量。假設容器和水的重量合計為Mg，然後用手將繫著線，總重量為mg的重錘沉入水中，這時磅秤會表示出多少重量呢？我們就從這個問題開始討論吧！（圖1）
B：如果將線鬆開，讓重錘一直沉到水底時，磅秤立刻表 示出容器、水、重錘三者的總和，應該是(M+m)g。如果用手將線吊起來，讓重錘懸浮在水中，由於重錘受到一個向上的外力，所以磅秤所表示的重量應該是減 去外力的重量。這個外力也就是手所感到的重量，因為水有浮力作用，所以比平常的重量輕一點。假設重錘的體積為V，同體積水的重量為M0g ，這時重錘的重量應該減輕為(m－M0)g，因此磅秤所表示的是(M+m)g－(m－M0)g=(M+M0)g……。
C：也就是說當重錘懸在水中，磅秤的增加剛好是同體積水M0g 的重量。你的意思是這樣吧！可是，這結果不是可以不用考慮浮力的因素就能更簡單的導出來嗎？
D：如果說讓重錘沈在水底時還說得過去，可是單單懸在水中，為什麼磅秤也會增加重量呢？真是不可思議……。
A：理由是這樣的。當重錘從水面慢慢沉入水底時，被排 出的水就會漸漸提高水位，因此對於容器底面所加上的水壓也會增加，容器本身也就增加一個被壓下來的力量，這力量進一步就作用到磅秤。換句話說，將重錘置於 水中，使水壓發生變化的原理與將同體積的水注入容器中的原理完全一樣，磅秤的讀數會增加同體積的水重M0g 。
B：如果不用手拉著線，如圖2，把線先綁在木棒上，然後再將木棒放在容器上，這時又有什麼不同呢？
A：當然，加在磅秤上的重量就會變成容器＋水＋重錘，也就是(M+m)g，（這時假設木棒的重量包含在容器的重量裏）。與前面的圖1互相比較，容器中的水壓分布完全相同，而磅秤讀數的差別是：(M+m)g－(M+M0)g=(m－M0)g
這就是水中的重錘加在木棒上的力量。換句話說，水中的重錘減輕了M0g 的重量，這減輕的重量就是浮力。
B：譬如，有一隻烏龜躺在金魚缸的底面睡覺。假設烏龜的比重在1以上，我們想像烏龜醒過來，並且膨脹起它的浮囊──不知烏龜是否與魚同樣具有浮囊──游到水面上。這時金魚缸的全部重量會發生什麼變化呢？
C：金魚缸中的重量不會改變，當然全體重量也不會發生變化。不管烏龜是沉在水底，還是浮在水面……。
A：正是如此！我們再詳細加以說明一下。當烏龜將它的浮囊充氣後，體積會增加，浮力也隨著增加。因此，金魚缸底面的壓力會減小。另一方面，隨著烏龜體積的增加，水面慢慢升高，金魚缸底面的水壓也增加。加加減減這個變化恰好互相抵消等於零。
B：這麼說來，如果要將氣球升上天空，當氣球充滿氣後，地面的氣壓也會跟著增加吧！如果把一大堆的氣球一個個放上天空，附近地面的氣壓也就越來越大，不就會招來別人的抱怨嗎？
A：那不成問題的。雖然氣球的浮力使得氣壓增高，但是這增高的氣壓由廣闊的地面平均承受，所以祗是極為微小的數字而已。
B：談到闊口瓶內的蒼蠅問題，我們可以應用「金魚缸與烏龜」的關係加以討論。不論蒼蠅在瓶子裏停下來或飛舞，瓶子的全體重量應該是不變的，似乎可以這麼說。
C：烏龜或金魚在金魚缸裏游泳時，牠們的比重大略是1，重力與浮力互相平衡。但是，瓶中的蒼蠅如果不搖動它的翅膀時，就會馬上掉下來。對於這一點應該有所不同吧？
A：確實如此！蒼蠅或鳥能夠在空中飛行，是因為擺動牠 們的雙翅造成上下的氣壓差，利用這個氣壓差才能支持牠們的體重。飛機或直昇機也是同樣的原理。但是，這種翅膀運動所造成的氣壓變化在翅膀附近非常大，稍微 離開遠一點就變得非常小。譬如，飛機水平飛行時，地面的氣壓就會增高，但是從理論可以知道這種氣壓變化與從地面到飛機距離的三次方成反比而減小。說得具體 一點，就好像把空氣當做墊子支持著飛機。當氣球升上天空時，地面的氣壓增高到處都是一樣，但是飛機就不同，它的正下方是氣壓最高的地方。
C：關於這點我們憑直覺就能感覺得出來。當直昇機從我們的頭頂上飛過時，就可以親身體驗到這種感覺。
B：這麼說來，當鳥籠裏面的鳥飛起來時，籠子的重量是會減輕囉！因為鳥籠的底部祗受到增高的壓力的一部份而已，圖3……。當然沒有完全減輕鳥的全部體重，因為還稍微受到一部份壓力上升的影響。
C：所以如果把鳥籠封閉起來，使空氣不能內外流通，籠 中增高的壓力也不會洩漏到外面。在這種情形時，不管鳥是停在木棒上或在籠中飛舞，全體的重量都不會發生變化。關於闊口瓶中的蒼蠅問題，如果在瓶口加上一個 蓋子後，情況就與密封的鳥籠相同；如果沒有加上蓋子就與平常鳥籠的情形無異。
A：我們可以開始討論泡沫的問題了吧！先將氣球用線綁 好接到容器的底部，而且讓氣球浮在水中（圖4），然後再突然把線剪斷，氣球就會立刻浮到水面。這種模型就好像將啤酒倒在杯子裏，泡沫不斷從杯底冒出來的現 象。如果將容器放在磅秤上，然後把線剪斷，又會發生什麼變化呢？讓我們一起來討論吧！
B：將線剪斷後，我認為整個重量應該會變重。因為本來氣球有個浮力把容器往上拉，現在忽然失去了浮力，差了這個力量當然會變重。假設與氣球同體積的水重為M0g ，容器與水的重量為Mg，磅秤最初的讀數應當是Mg，切斷線後的重量就變成(M+M0)g。由於氣球與線的重量很小，所以我們省略不算。
C：這就奇怪了！不管線剪斷或不剪斷，容器中的水量都沒有減少或增加，磅秤所表示的重量應該不會改變。至少與烏龜從水底游到水面的推論不是發生了矛盾嗎？
B：不！這個問題與那個問題的條件不同。當烏龜浮上來時，祗是調節它的浮囊，使身體的比重保持在比1稍小的狀態，慢慢地浮上來。現在這個問題是氣球本來就很容易能浮在水面，可是我們卻勉強硬把它接到底面，兩種情形是完全不相同的。
A：完全正確，正是這個原因！當線被切斷後，氣球會猛 然往上衝。氣球向上浮起時；相反地，水往下沉以便填補氣球升上後的空位。換句話說，容器的重心會往下移動。氣球受到浮力作用向上進行加速度運動，同理水的 重心也向下進行加速度運動，因此這時的水會受到一個比平衡狀態還要大的向下力量。就好像容器要把水往下拉。反過來說，水也要把容器往上拉。換句話說﹐當氣 球向上進行加速度運動時，容器會減輕重量。正好與B君的推論結果完全相反。
C：你說水向下發生加速度運動時，容器就會減輕重量， 這個理由我現在懂了。可是，若像下面的說法，就又好像說不通了。在力學上有所謂「達氏定理」（D'Alembert's Principle）：「當物體運動時，如果考慮其慣性力──加速度乘上質量再改為相反方向──則所有的力量都會平衡」。利用這個原理，那麼磅秤上所表示 的重量應該是加在容器和水的全部力量──包括慣性力量。其中重力與氣球的運動無關，而慣性力向上，所以剛好減去這個重量，大概是這樣的吧！
B：是的，假如我們將慣性作用的原理應用到擺動中的擺子，就能更清楚的瞭解這件事，（圖5）。
當擺子通過最低點A的一瞬間時，所受到的加速度就是向心加速度，向上正對著支點O，而慣性力則垂直向下。因此在這瞬間，擺子的重量比平常靜止狀態時還重。
A：我們還是回到原來的話題吧！總之，如果重心發生加速度運動時，容器與其中物體的全部重量會發生變化，這個變化量就是加速度運動所造成的慣性力量。這就是結論吧！
B：慢點。如果像圖2的情形，把線剪斷後，會發生什麼現象呢？重錘比水還要重，會產生向下的加速度運動，整個系統重心也會跟著往下移動，而慣性力向上，這個時候重量也應該會減輕，是吧？
C：你的意思是針對全部的重心運動而言。假設水中物體的質量為m，同體積水的質量為M0，當物體移動時，就相當於m－M0的質量在移動。因此，泡沫的運動可以說是一種負質量(－M0)的運動，加速度雖然向上，慣性力也是向上。
B：讓我們再談談烏龜的問題。如果烏龜不使用浮囊，直接用比水還重的身體游到水面，這時金魚缸應該會變重吧！停在地面的直昇機突然上升，對於全體地面所作用的壓力應該會增高吧！
C：假設在一個廣闊的平臺上，有一個人拿著氣球，然後 手放開，手裏的氣球馬上會向上發生加速度運動。因為氣球比空氣還輕，依照前面的理論，平臺的重量應該會減輕。可是，根據常識，當放掉氣球時，人失去了浮 力，整個重量都加在平臺上，平臺的重量好像應該變重才對啊！……。真是不可思議。
A：前述結論確實是與一般的常識相反，必須使用極為廣 大的平臺，才合乎理論的條件。臺子為什麼會變輕呢？當氣球突然上升時，氣球的下方呈真空狀態，雖然不是很厲害的真空，但是氣壓會降低，產生把臺吸上來的作 用。臺子夠廣闊時，氣壓的吸上作用除了可以抵消氣球的浮力之外，還剩下多餘的向上吸力足夠減輕平臺的重量。
B：總之，杯子裏發生泡沫上升的現象，祗要泡沫的上升運動含有加速度，杯子的重量就會變輕。這麼一來，如果受到粘性或其他因素的影響，泡沬祗做等速運動，杯子的重量就不發生變化。可是，泡沫的加速度又怎麼決定呢？
C：運用牛頓的運動法則就可以了。例如圖2，把線剪斷後的情形，我們來算算重錘落下後的加速度是多少。假設重錘的質量m，為同體積水的質量為M0，重錘的向下重力為mg，向上浮力為M0g 。假設重錘的加速度是垂直向上的a，依照牛頓的運動法則：
ma =－mg + M0g
∴ a =－(m－M0)g/m
如果重錘比水重，那麼m＞M0,a＜0，也就是說重錘會做向下的等加速度運動。如果換成氣球或泡沫時，空氣的質量與水相比可以忽略不計，所以m=0,a……。咦！這就怪了，加速度怎麼會變成無窮大！
A：我早就知道你會想成這種結果。你錯誤的地方在剛才 方程式的左邊，把物體的質量m直接乘上加速度a，這樣未免太早了一點。物體在水中運動時，水也會跟著移動。也就是說當物體帶有運動能量時，周圍的水也必定 隨著帶有運動能量。從外面加入一個力量想提高物體的速度，以增加物體的運動能量時，這作功能量的一部份必定會被用到增加周圍水的能量運動。就好像水中的物 體帶一個拖油瓶在運動，必須考慮另外附加的質量。這個質量在流體力學上就稱為假想質量。
B：當我們要穿過擁擠的人群時，必須花費相當大的力量，可以說是假想質量很大的緣故吧！
C：這麼一說，使我想起電磁的問題。運動中帶電粒子在其周圍造成了電磁場，因為電磁場帶有能量，就顯示了質量。這種電磁的質量也可以說是假想質量的一種吧！
A：假想質量m'完全依物體的形狀決定。例如，球形的 物體所要推開的流體質量剛好是本身質量的一半。對於任意形狀的物體而言，假想質量到底是怎麼決定呢？假若想用理論來求，是個相當麻煩的問題，因為與我們現 在所討論的問題沒有多大關係，所以不去討論它……。總之，上式的正確表示應該是：
(m+m')a=－mg+M0g (1)
因此 a=－[(m－M0)／(m+m')]．g (2)
泡沫的m=0時﹐ a=(M0／m')．g ﹐確實帶著一個有限的向上加速度。如果我們將泡沫當做一個球形，它的假想質量是：
m'=M0／2 ∴ a= 2g
也就是說泡沫以物體在真空中落下的加速度的二倍加速度上升。
C：物體在裝有水的容器中運動時，全部重量的變化祗有慣性力而已。我們在前面討論過：慣性力＝－(m－M0)a（3）將（2）式代入這式，重量的變化ΔW等於慣性力加一負號：
ΔW =－(m－M0)2g /(m+m’) （4）
由於這數值恒是負數，所以重量會減輕。當氣球或泡沫在水中時，假設m=0﹐m'=M0／2﹕
ΔW=－2M0g (5)
減輕了相當於氣球或泡沫同體積水的二倍重量。這個變化相當大，你也可以自己做實驗試試看。
A：雖然（4）、（5）兩式的形式非常簡單，但並不是隨時都能成立的，一定要先瞭解它的適用範圍。這二式是由式（3）演變來的：
ΔW=(m－M0)a （6）
這個式子隨時都可以成立，可是關於加速度a的（1）式才是關鍵的所在。因為在式子的右邊祗考慮重力與浮力，將水當做是沒有粘滯性的流體討論。從流體力學上 我們可以很清楚的知道，物體小而且運動速度慢時，粘滯性的影響非常大，在流體中受到重力作用而自由降落──泡沫則為上升──的速度馬上會達到一定的數值， 也就是所謂的「終速度」（Terminal Velocity）。啤酒的泡沫正是這種情形，可以將加速度當做零，所以事實上杯子的重量應該沒有多大變化。
B：從拖油瓶的質量使我想到以前不知曾在那一本書上看到測量人類靈魂重量的問題。書中說把瀕死的病人連同病床放在一個很大的磅秤上，在病人斷氣的那一瞬間，整個重量會突然減輕。
C：那個減輕的重量就認為是靈魂的重量，是吧！
B：可是，如果我們先想想今天所討論的問題，對於那靈魂的重量就會發生疑問。我並不相信書上所記載的實驗，可是我們假定它是對的，那麼磅秤所測出來的到底是什麼呢？
A：對於這種還有有疑問的問題，我們也不必太認真，姑且輕輕鬆鬆談一談，就算是好奇心的驅使吧！我們首先假設人在死去的一瞬間，靈魂像泡沫一般的升上天空。假定靈魂的重量是m，與人體同體積的空氣重量是M0，依照（6）式中a是正的──因為是上升的關係──根據實驗的結果會變輕，所得到的ΔW是負數，所以必是m＜M0。也就是靈魂的密度比空氣還小，這個結論似乎是理所當然的。
B：可是在實驗中應該可以測定出ΔW的大小程度，不是嗎？假若靈魂比空氣還輕，那麼m－M0的絕對值恐怕非常小，（6）式中的加速度a就變成非常大的數值。單靠浮力的話，這是不可能的。實際上，當靈魂靠自己的浮力升空時，（4）式裏的ΔW的大小差不多在M0g 上下。假若靈魂與我們的頭一樣大，那麼ΔW就更小，測定更困難。
C：既然這樣，我們不要把靈魂當做是自行升天，假想上帝用一個非常大的加速度a把靈魂拉上天國。那麼，m－M0不論多小，祗要a非常大，ΔW就能達到可以測定的程度。
A：不，等一下。靈魂又不一定全都到天國去報到呀！如果降到地獄，那麼a就變成負值，m＞M0,ΔW也變成負數。如此對於斷氣時重量減輕的實驗就能得到一致的結果，至於靈魂的重量m，與空氣的重量M0那一個重都無所謂。這時地獄的小鬼也不需要花費很大的力量來硬拖靈魂，所以靈魂依靠自己的重量降到地獄的說法，就能把實驗的結果解釋得通。
B：升天說或墜地獄說雖然不同，總之都可以證明實驗的結果。可是ΔW並不是靈魂的重量，要求得靈魂的重量必須先要知道靈魂從人體跑出時那瞬間的加速度。
C：談了半天，我們越談越複雜了。假設人在死的那瞬間，靈魂突然消滅，既不升天也不下地獄，身體也就跟著減輕了重量，這麼說不也能說得通嗎？質量不滅法則已經早就不成立了。……。（作者現職：大豐機器公司技術室主任。本文改寫自Logergist著「物理之散步道」）
〔作者保留版權〕
