數學之內容方法及意義
ISBN：9571802891
作 者：阿.德.亞歷山大洛夫等三位數學家A. D. Aleksandrov(AJIeKcaHapOB), A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev [前蘇聯]
譯 者：劉世超、郭從古
精平裝：平裝本
出版社：徐氏基金會
中國圖書分類：數學總論
推薦/陳育霖
高中到大學的圖書館都有這套書, 一直很喜歡看. 寫碩士論文的時候, 不斷在文獻上看到這套書的其中一位作者A. N. Kolmogorov, 所以再讀這套數學, 覺得特別親切.
這套書先由俄文翻成英文, 台灣是由英文版翻成《數學之內容方法及意義》中國則是按照英文原名直翻《数学—它的内容，方法和意义》, 最早是由台灣徐氏基金會出版, 只要具備高中數學程度就能夠跟上書本內容, 當中按照數學領域分支在數學發展歷史時間軸上攤開數學理論, 談的內容多從自然科學或工程應用實例進入, 內容非常吸引人, 是一套非常好的書, 值得一看, 尤其對物理、工程、應用數學有興趣的人一定要看. 尤其是數理資優生.
英文版資料
書名: Mathematics: Its Content, Methods and Meaning
作者: A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrent'ev
頁數: 1120 pages
出版者: Dover Publications (July 7, 1999)
語言: English
ISBN-10: 9780486409160
ISBN-13: 978-0486409160
ASIN: 0486409163
書本尺寸: 8.5 x 5.4 x 2 inches
內容介紹
以下內容引自好書天天讀
如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。
－ 龐加勒(Poincare, 1854-1912)
【作者簡介】
阿.德.亞歷山大洛夫是前蘇聯著名的數學家，1912年8月4日出生於沃倫，1933年在列寧格勒大學畢業後留校工作，從1964年起他到蘇聯科學院西伯利亞分院及新西伯利亞大學工作。亞歷山大洛夫1937年獲數學物理學博士學位，1942年獲蘇聯國家獎；1952年起擔任列寧格勒大學校長。他的研究領域涉及幾何學及其應用、相對論基礎、自然科學哲學等很多方面。亞歷山大洛夫1949年發表『凸曲面內蘊幾何學』，是前蘇聯幾何學派的奠基人，1951年曾獲國際羅巴切夫斯基獎。他於1964年當選為前蘇聯科學院院士，獲得列寧勳章、勞動紅旗勳章和其他獎章。除了在科學領域辛勤耕耘並取得優異成績之外，亞歷山大洛夫興趣廣泛，工作之餘愛好游泳、划船，還是一個登山能手。
【成長背景】
進入20世紀，數學開始與普遍性和抽象性密不可分，專業也越分越細，逐步發展成為一個有著眾多分支的龐大理論體系，數學領域也出現了許多的專家，也正因為如此，有許多人不能通觀全局，在實際工作中要受到眼界狹隘的限制；同時也使不少人對數學產生誤解。本書的作者們共同勞動，集體編寫了這套書，目的就是讓更多人瞭解數學的每個分支的內容與方法，知道它的物質基礎及發展道路。有助於引起讀者的興趣，並使其大致瞭解數學的全貌。當然，數學的研究內容非常豐富，即使是它的幾個主要方向，也不可能在一部書中窮盡其全部內容。因而作者在力圖能使讀者大致瞭解近代數學的來龍去脈的前提下，在選材方面做了適當的取捨。同時各卷中材料的難易程度也不一樣，讀者可以根據自己的需要進行有目的的閱讀。
【主要內容】
『數學之內容、方法和意義』是由亞歷山大洛夫等第一流的數學家們撰寫的，全書共20章，89.1萬字。60年代初由徐氏基金會出版共分三卷出版。
第一卷包括四章，論及數學分析、解析幾何和代數這三個數學分支；
第二卷共10章，包括微分方程、變分法、複變函數、數論、概率論、函數逼近、計算方法和電子計算器等方面的內容；
第三卷共六章，包括實變函數論、線性代數、抽象空間、拓樸學、泛函分析、群及其它代數系統等方面的內容。
書中不但對數學各個分支的基本內容、方法和它們建立的基礎及歷史發展作了系統的敍述，還對數學的哲學及其在物理和工程技術方面的應用進行了闡述。本書每章內容都由淺入深，各個章節之間的內容又融會貫通，所以很容易理解。它不但能開闊我們眼界、瞭解數學的全貌，還能使我們找到解決實際問題的數學工具，因此很值得一讀。
一、算術與幾何形成時期
這是數學作為一門獨立的、純粹理論的科學的萌芽時期，這個時期從最古的時代起，終止於西元前五世紀，也許更早一些。現在我們都聽說過數學具有高度的抽象性，邏輯的嚴格性，結論的確定性及應用的廣泛性等特點。由於全部的數學都具有抽象性的特點，你可能會覺得數學太高深了，感歎它是純粹的思維產物。其實不然，數學之所以能經久不衰並且不斷的發展是由於它的概念和結論儘管極為抽象，但大都來源於現實，並且又反過來作用于現實。這從算術和初等幾何的形成和發展上就能瞭解到。最初數就是從人們在日常生活中表示物體的多少而抽象出來的，而對具體的物體作實在的計算，人們又從中抽象出數與數之間的關係，形成了具有一定關係和規律的數的系統。反過來，有了算術（源於希臘的計算的藝術）的一些基本知識，人們就可以表示出生產或生活中某些物體集合之間的現實的量的關係。社會實踐愈是寬廣和複雜，它就提出愈廣泛的任務。為了把計算的結果確定下來並便於交流，也為了指出物體的量並用關於數的思想表示，就又推動了數的名稱以及數位記號的發展，從而將算術推向前進。正是在這種現實和數的思想的相互作用下，形成了理論算術。幾何的產生同算術產生的歷史相似，最初的一些幾何概念和幾何知識也是在實踐活動中產生的。西元前七世紀時幾何從埃及傳到希臘，泰勒斯(Thales, B.C. 624-547) 和德漠克利特(Democritus, B.C. 460-370) 又進一步發展了它。幾何是朝著積累新的事實和闡明它們相互間關係的方向發展的，幾何就是在這種發展過程中逐漸形成了自己的理論體系。西元前三世紀，古希臘著名數學家歐幾裏德以「幾何原本」奠定了理論幾何的基礎。這一時期，幾何並沒有從算術中分離出來，好多幾何問題在計算上同時也是算術問題。正是它們的這種相互作用，使它們成為進一步的一般概念、方法和理論的泉源。例如實數的概念就是在用具有某種單位長度的線段去度量物體的長度的條件下，出現了不可通約線段（如果兩條線段的比不是整數之比，這兩條線段就是不可通約的）而逐步建立起來的。幾何與算術的這種相互作用表現在負數與複數概念的確立上。如負數是用數軸上原點往左排列的點來表示的，複數則可用來表示平面上的點。由此可見數學在他各理論間既對立又統一的關係下獲得了很大的發展。
二、初等數學時代
初等數學時代即常量數學時期。它延續了將近2000年，到17世紀隨著高等數學的建立而終止。這一時期若按歷史條件的不同可分成三個時期：希臘時期、東方時期、歐洲文藝復興時代。希臘時期起始於西元前七世紀，到西元前三世紀達到了自己的顛峰，而終止於西元六世紀。此時幾何學達到了驚人的繁榮，希臘人不僅發展了初等幾何，還得到許多非常重要的結果。如他們證明了某些屬於射影幾何的初步定理，確定了一系列複雜圖形的面積和體積，建立了球面幾何以及三角學的原理，甚至知道在表面積相同的物體中球的體積最大這一結論。並且希臘人在幾何方面的發展已經接近高等數學，如阿基米德在計算面積和體積時接近於積分演算等；在算術和最初代數的研究中，希臘人也取得了一定的成績，如他們發現了有理量並奠定了數論的基礎；丟番圖(Diophantus, 200-284)的解整數方程方面的研究，歐幾裏德(Euclid, B.C. 325-265)做出的質數有無限多的結論，都對後世產生巨大影響。希臘人對初等幾何的透徹研究，致使'幾何的光輝發展直到現代開始以前已經窮竭'，取而代之的是托勒密(Ptolemy 85-165)、丟番圖等人工作中的三角和代數，這正是代數占主導地位時期的開端。隨著希臘科學的窮竭，歐洲出現了科學蕭條，數學發展的中心轉移到了印度、中亞、西亞和阿拉伯國家，這些地方從西元五世紀到十一世紀的一千年間，數學主要是由於計算和天文學的需要而得到發展，那時東方的大多數科學家既是數學家又是天文學家。這一時期印度取得了發明現代計數法，清楚的指明兩個量的任一比都可以稱為數及給出代數的定義的成就；而中亞細亞的數學家們取得了找到求根和一系列的方程的近似解的方法和牛頓二項式定理的普遍公式，並計算出非常準確的正弦表的成就；到了歐洲文藝復興時代，歐洲發明了十進位對數表，這樣，就完成了初等代數的建立。同時在17世紀初，雖然初等數學的時期結束了，但初等數學的發展並未就此結束，它仍在繼續發展著。
三、變數的數學
到16世紀，實踐的需要和各門科學本身的全部發展使自然科學轉向對運動的研究，對各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關係的研究。於是在數學中就產生了變數和函數的概念，反映了變化著的量的一般性質與他們之間的依賴關係。隨著數學物件的這種擴展，數學就進入變數數學時代。變數是變化著的量 ---再加以考察的過程中必然採取不同值的量的抽象模型。函數則是一個變數對另一個變數的依賴關係的抽象模型。我們把數學中專門研究函數的領域叫做分析，數學分析是在已經形成著的力學的材料的基礎上，在幾何問題和從代數引出的方法和問題的基礎上建立起來的。它對於各種變化過程、運動過程以及一個量與另一個量相依而變的過程提供了進行數量上研究的方法。1637年笛卡兒(Decartes, 1596-1650) 在它的幾何學中奠定了解析幾何的基礎－使平面上的曲線與有兩個未知數的代數方程之間建立了聯繫，這對變數數學的建立具有決定性的作用。現在我們知道，解析幾何研究的內容和方法，就是以帶有兩個變數的方程來表示平面曲線並根據方程的代數性質來研究相應曲線的幾何性質；反過來，根據給出曲線的幾何條件，找出它的方程，然後根據方程的代數性質來研究曲線的幾何性質，所以說笛卡兒功不可沒。解析幾何觀念的重要部分是座標方法和把方程看做聯繫這些座標的關係的看法，除去笛卡兒座標還可討論極座標等。解析幾何中的主要內容是圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的理論，他對於天文學、力學和技術都有現實的意義。如克卜勒 (Kepler, 1571-1630) 發現行星是延橢圓軌道圍繞太陽運動的；伽利略則確定投擲的物體，是沿拋物線飛出去的，有了圓錐曲線理論就可以相應的計算出行星繞太陽或拋出的物體的運動軌跡方程。因此可以說: 解析幾何是由以前數學的發展所準備好，由科學和技術發展的迫切需要而形成的數學又一分支。變數數學發展的第二個決定性步驟就是牛頓(Newton, 1642-1727) 和萊布尼茲(Leibniz, 1646-1716) 在17世紀後半時期建立了微積分，它起源於幾何中作曲線的切線、確定面積、體積等古老的問題以及力學的一些新問題。由於它研究的物件是函數本身的性質，因此可以說是分析的實際產生。我們可以運用微分學中的法則計算出導數來解決在非勻速運動中求某一暫態的速度問題及在曲線上求作切線的問題。而運用積分學中的法則計算出定積分，我們可以解決求曲線形的面積問題及在非勻速中運動中求所經歷的總路程的問題。有時候也把數學分析稱作無窮小量分析，是因為無窮小量概念是研究函數的重要工具，在現代的觀念中無窮小法就是極限的方法。數學極限法的創造是對那些不能夠用算術、代數及幾何的簡單方法來求解的問題進行探索的結果。
雖然數學分析具有抽象的性質，但它卻給予自然科學和技術以解決各式各樣的問題的有利方法，而且還給出了精確科學的定量規律的數學表達的一般方法。以致亞歷山大洛夫說：力學的一般規律如果不用分析概念就不能在數學上表述出來，而沒有這樣的表達，我們就沒有可能解決力學問題。微積分產生的同時，還產生了分析的另外一些部分：級數理論及微分方程論。微分方程論是分析的最重要的一支，它研究的是將函數作為未知項的方程，及一個量對另一個量或另幾個量的相依規律。根據未知函數與變數個數的關係又分為常微分方程（未知函數只與一個變數有關的方程）和偏微分方程（未知函數與幾個變數有關，方程中又出現未知函數對幾個變數的微商的方程）。現在微分方程理論已經成為研究自然現象的有力工具，並在力學、天文學、物理學及技術科學中取得了巨大的成就。如：借助於微分方程，牛頓所發現的力學規律可以用來研究所有力學系統的運動，而在分析微分方程數值的基礎上1846年勒維計算出海王星的軌跡並最終由天文學家觀測到了這顆行星。
四、現代數學
現代數學發展的開端是以其所有基礎部門：代數、幾何、分析的深刻變化為特徵的。在幾何方面，新的非歐幾裏得幾何學在1826年由羅巴切夫斯基等發展。從這時候起，對幾何是什麼的理解改變了，幾何的應用物件和範圍很快的擴大了。1854年，德國數學家黎曼繼羅巴切夫斯基之後明確的表達了幾何所能研究的空間數目無限的一般思想。同時在幾何的新發展中空間這個術語在數學中獲得了新的更廣泛，也是更專門的意義，而在歐氏幾何中也發生了許多重要變動，譬如出現了對所研究的圖形性質本身的原則上的新觀點等。隨之而來的就是在集合內部形成一些獨特的幾何分支－射影幾何、仿射幾何、拓樸學等。射影幾何起源於物體在平面上的映射問題，它研究的是在平面或空間的任何射影變化下保留著的幾何性質，因而特別應用於畫法幾何。射影幾何的結論可以在航空測繪等工作中應用，它的規律還可以在建築裏，也可以在構做全景圖、佈景等方面運用。仿射幾何研究的是在任何仿射變化下不改變的圖形的性質。與仿射幾何有密切聯繫的有二次曲線的全部理論。二次曲線正是根據圖形的仿射性質而分成了橢圓、拋物線和雙曲線的。現在的數學家們不但把各種不同維的歐幾裏德空間作為幾何研究的物件，同時還把羅巴切夫斯基空間、四維黎曼空間、射影空間、拓朴空間等作為幾何研究的物件。由此產生的理論既在數學本身中具有重要應用，也在物理學和力學中具有重要的應用，特別是他們在作為空間、時間和引力的現代物理理論的相對論中具有特殊的應用。
在代數方面，現代代數在保持原有理論的基礎上，還把它研究的物件大大推廣了。現在在代數中還考察比數具有更普遍性質的'量'，如向量、矩陣、張量、旋量、超複數等。在18世紀末到19世紀初，代數學中代數方程的解法問題逐漸成為中心問題，到19世紀中期待數就已經被定義為代數方程理論。18世紀後半業時，在伽羅華有關代數方程思想的基礎上，群論和數論逐漸發展起來。最初，群論研究只是為了解決高次方程的解，在解決能否用根號表示高次方程的根這一問題時，首次發現問題的關鍵在於方程的根的對稱性和平等性。而後在許多別的科學部門如幾何、結晶學、物理、化學中也都發現了對稱性，群論的方法和結果就廣泛的流傳開來。由於許多應用部門都向群論提出自己特殊的問題，所以近代群論分裂為一些相對獨立的部分：有限群論、連續群論、變換的離散群等。現代代數的概念、方法和結果在數學本身的發展中同樣佔有重要地位。正如切波塔廖夫說的那樣：代數是數學中發生的許多新的思想和概念的搖籃，它顯著地豐富並發展了數學的許多部門，這些部門已成為物理與技術科學的基礎。
在分析方面，首先它的基礎，特別是它的基本概念得到了精確化；其次，無窮集合理論為其新思想的發展奠定了基礎。於是在集合論有關的變數和函數觀念的精確化基礎上，分析轉向了對更一般函數的研究，進而一個新的數學分支---實變函數論產生了。它主要是處理更為廣泛的函數類，並以研究數學分析裏對於連續函數給出了某些定義可以應用於怎樣的函數類，以及怎樣改變這些定義才能使其應用等問題為特徵。只有在實變函數論裏，我們才能得到關於曲線的長度及對於怎樣的曲線它的長度才有意義的滿意回答。在分析中為了便於函數的實際計算，為用較簡單的函數近似的代替複雜函數提供一般根據就形成了函數的逼近論這一特殊分支。而歐拉(Euler,1707-1783)與拉格朗日(Lagrange,1736-1813)與力學直接相聯繫用建立了分析的新分支－變分學 (Calculus of Variation)。到19世紀，新的重要分支－複變函數論(Complex Function Theory)使分析的內容更充實了。因為它能夠深刻的滲透到分析的一系列定理中，並且它在解決數學本身、物理學以及技術的很多重要問題中都有重要的應用，所以它很快得到了極大發展。在分析和數學物理發展的基礎上同幾何和代數的新思想相結合，又產生了新的寬廣領域－泛函分析(Functional Analysis)。泛函分析中把函數本身看作是變動的，它考察的是所有以這種或那種共同性質為特徵的函數的集合。除此之外，在現代數學的整個時期中，計算技術水準及一些較老的數學分支－數論、歐氏幾何、經典代數和分析、概率論等學科也都飛速的發展著。
【經典實驗】
在數學發展的歷史當中，非歐幾何對人類思想觀念產生了重大的影響，它所引起的思想變革可以和哥白尼的日心說相比擬。希爾伯特(Hilbert,1862-1943) 曾評價道，19世紀最有啟發性、最重要的數學成就就是非歐幾何的發展。
非歐幾何的產生是與著名的歐氏第五公設連系在一起的。從西元前3世紀歐幾裏得建立歐氏幾何開始，對於其中的第五公設－若一直線與兩直線相交，且若同側所交兩內角之和小於兩直角，則兩直線不斷延長並相交於該側的一點，許多數學家都試圖證明它，但在過去2000多年的時間裏，沒有能將其直接證明出來。18 世紀以後，人們開始嘗試間接證法，為非歐幾何的創立作了思想和理論上的準備。一般認為，非歐幾何的思想是在19世紀20年代由德國的高斯(Gauss, 1777-1855)、俄國的羅巴切夫斯基(Lobachevsky,1792-1856)以及匈牙利的鮑耶(Bolyai, 1802-1860)幾 乎同時提出的，其中羅巴切夫斯基為非歐幾何的確立和發展作出的貢獻更大。
可以說高斯是最早明瞭非歐幾何輪廓的人，但他一輩子都沒有勇氣公開自己的研究成果。高斯的大學同學、匈牙利數學家法你卡什.鮑耶終生從事第五公設的證明，但沒有取得突出成就，因而極力阻止自己的兒子鮑耶.亞諾什接觸第五公設。小鮑耶不聽從父親的勸告，繼續研究，終於在1825年左右基本上完成了非歐幾何。幾經周折，老鮑耶終於同意把兒子的創作作為一個附錄與自己的著作一起出版。在出版前將附錄寄給高斯徵求意見，高斯回信說：...稱讚他等於稱讚我自己，因為這研究的研究內容，你的兒子所採用的方法和他所達到的一些結果幾乎和我的一部份30到35年前已開始的個人沉思相吻合，... 小鮑耶卻過於自信，認為高斯在爭他的優先權，之後變得非常孤僻。由於沒有獲得任何人的理解、同情和精神上的支持，再加上因為學術爭論與家庭的糾紛，鮑耶. 亞諾什被父親趕到偏僻的多馬爾德居住，晚年過著疾苦的生活，58歲就離開了人世。
【哲人金語】
追根究底，數學的生命力的源泉在於它的概念和結論，儘管極為抽象，但卻如我們所堅信的那樣，它們從現實中來，並且在其他科學中，在技術中，在全部生活實踐中都有廣泛的應用；這一點，對於瞭解數學是最重要的。
數學已確定的完全現實的材料作為自己的物件，不過他考察物件時完全捨棄其具體內容和質的特點。
簡要地說，如果初等數學是常量數學，繼其後的一個時期的數學是變數數學，那麼，現代數學各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關係和相互聯繫的數學。
不應該迷惑於對現代數學的絕對和徹底的嚴格性的估計。在還沒死去和變成木乃伊的科學中，沒有也不可能有什麼完全終止的東西。
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