冒牌自然老師

如何跟物理做朋友 ﹖

欒丕綱
中央大學光電科學與工程學系副教授
自我介紹
1989年畢業於成功大學物理系（學士），1995年畢業於清華大學物理系（博士）。在清華物理讀研究所期間，以及當兵之前，我的研究領域主要是統計力學中的可解模型，以及與之密切相關的數學結構 Yang-Baxter方程。我的博士論文研究的是以Yang-Baxter方程的解建構具有兩個參數的量子代數。我在1998年6月退伍之後到宏碁電腦（Acer）工作，成為 EMI（電磁輻射干擾）工程師。在那兒工作到12月份，然後回到中央大學作博士後研究員。我在2001年八月起又到交通大學繼續作博士後研究員。我在博士後研究期間 (1998.12-2002.07) 的研究領域主要是隨機介質中的波局域化（又稱Anderson局域化）現象。從2002八月起，我獲聘為中央大學光電所的助理教授。我目前的研究興趣包括光子晶體理論、負折射現象、時變性量子系統，以及統計力學。

 

一、  前言

對 於教物理，我有滿腔熱忱，但對於該怎麼教才是最有效的，我就沒有什麼特別的心得了。老實講，我覺得教書其實是一件很難的事。比如說，我永遠沒辦法確定，究 竟是要教「完整的內容」給學生比較好，還是將大部份的力氣花在教「學生最容易吸收的部份」對學生比較有幫助。因此，雖然我同意為物理雙月刊寫一篇與教學有 關的文章，但我必須要採用比較另類的方式，否則就生不出這篇文章了。

幾 經思索，我決定採用「跟大家分享學習經驗」的方式，將我的物理學習心得跟大家報告，希望能達到「眾樂樂」的效果。我相信我的學習經驗與方法對大部份從小就 想當科學家的人而言是很普通的，但大多數的學生們或許並不是那麼清楚這些訣竅，因此我特別想跟學生們分享。我希望看到這篇文章的讀者們，能在學習方法上獲 得一些啟發。以下我將逐項說明我的物理學習心得。這些項目的順序並不重要，重要的是它們的內容。

二、學習物理的 18 個訣竅

1.「童年資料庫」很重要

小 時候的經驗與感受，會成為長大後吸收知識與理解學問的基礎。我在這裡所說的是童年時期的玩耍經驗。小時候我愛玩水、用放大鏡聚焦陽光燒東西、鏡子泡水反射 陽光造彩虹、自行製做玩具飛機、直昇機、玩具船，以及玩具車等等。在玩水的時候，我其實也學到了什麼是浮力、（水）壓力、反作用力（螺旋槳向後推水造成船 向前跑）、表面張力（小時候的一毛錢可以被它「撐」在水上）、溫度與比熱（冷水與熱水，金屬與塑膠的觸感）、折射（看水裡的影像）、波的現象與振動等等。 玩飛機或直昇機的時候，我可以知道什麼是重心、攻角與昇力（說真的，比較學不到伯努利定律）、力矩（螺旋槳在轉的時候，握住飛機別讓它飛）、對稱性與穩定 性、彈力位能與動能的轉換（橡皮筋上緊點，螺旋槳就可以轉得快一點）。玩玩具車或是滾球、滾輪子的時候，可以學到摩擦力、動量、慣性、角動量與力矩等等。 所有的這些玩耍都提供了潛移默化的學習經驗。它們雖然沒有被冠上物理的專有名詞，但當我學物理的時候，我可以很清楚的知道那些公式跟我的童年經驗是密切相 關的，因此不會覺得物理很抽象。

我 認為現在的孩子在這些經驗的累積上有太多的障礙。父母的過度保護（怕孩子受傷因而剝奪了他們的「玩耍權」）、過度灌輸（現成的知識）、過多的資訊（發呆不 被鼓勵），以及小孩子太早接觸電腦（活在虛擬世界），都是造成他們不能順利累積這些童年經驗的原因。沒有這些經驗做基礎，物理就會顯得很抽象而難學了。如 果小時候沒有這些經驗怎麼辦 ﹖我的建議是「重新活一遍」﹗也就是把自己當成小孩，去累積這些經驗。

2. 把數學學好

學生往往有一種迷思，以為「物理觀念比數學重要」（許多老師也會這樣說），因此會「希望老師多講物理觀念，少講數學」。這個想法本來是正確的，如果學生們的數學基礎 OK 的 話。可是，我發現現在一般學生的數學基礎都不怎麼好，因此我不得不多講一點數學。對於數學基礎較差的學生，我就算講再多的物理觀念，也都只是「老師的物理 觀念」而已。學生們或許會試著將我講過的觀念背下來，但這些沒有消化的觀念根本是沒有用的。如果一個大學生連微積分的基本運算都有困難，我就實在想不出他 要怎麼學物理了。如果學生能打好數學基礎，那麼他/她自然就比較有可能自己找出公式的物理意義，而不必依賴老師。

許多學生會說自己的數學不好是因為有許多數學課程沒有學過，或是授課老師沒有教過。其實，從來沒有任何一門數學課程能保證教給學生所有他在學習物理時會遇到的數學。一個積極主動的物理學習者一般都會自己找方法把物理中所遇到的數學問題解決掉—不論那些方法是很直接的還是很間接的。舉例而言，在初學「黑體輻射」（blackbody radiation）公式的時候，我遇到了一個不知從何而來的因子 。為了搞懂這個因子是如何導出來的，我不但請教了當時的任課老師，還自己查閱相關書籍並找方法解決。這個過程讓我學到了Zeta 函數（Riemann zeta function）[1]。在後來的固態物理與統計力學的學習中，我又再次遇到了與 Zeta 函數有關的積分，因此之前學到的這些數學知識就都派上用場上了。

3. 搞懂定義—培養語文與邏輯能力

我 發現有許多學生在寫作業或考試的時候，往往沒看清楚題目就作答了。這些學生讀書的時候，通常也不能掌握公式的基本假設與適用條件。更糟的是沒搞清楚某一個 術語的定義就拿來套用。我發現造成這些現象的原因是多重的。有些學生是沒耐性，有些人是邏輯訓練不夠（想講的與講出的不同），還有一些學生是語文理解能力 不好（通常是中文與英文都有問題）。很多情況下，只要將定義弄清楚，問題就已經解決了一大半。

4. 適應新講法

自稱能理解「物質波」，卻不能接受「波函數」，或是能瞭解「波函數」，卻不能接受「狄拉克符號」（Dirac notation）的學生比比皆是。能夠接受 ，卻不能接受向量表達式 的學生也所在多有。我發現這些「不能接受」的反應，其實經常只是情緒上的抗拒，不是實際上的困難。適應新講法，是學習任何一門學問的一個必經過程，必須主動去調適。這部份老師能幫的忙其實很有限。

5. 用自己的話講清楚

知識必須消化，否則就變成只是資料的累積罷了。將學來的觀念用自己的話講出來，就會很容易接受並記得。一個更好的方法其實是把學到的觀念跟別人分享。藉著分享知識並與別人討論，學到的觀念就會進一步強化並在腦中生根。

6. 鍥而不捨找答案

如果想解決一個物理問題，該如何找答案﹖除了自己想，自己試之外，還可以怎麼做 ﹖可以問前輩、與人討論、上網找資料或問人、找書，或是找同好一起研究。有時候找到的資料並不能直接解決問題，但卻可以加深你對問題的認識。當我們對問題認識得夠深時，或許就知道該怎麼解決了。

7. 願意再學一次

既 使教的是同一門物理課程，我還是會在每一年都重新再備課。表面上看起來，我這麼做是在浪費時間，實際上卻會有很多收穫。每一次重新備課幾乎都能讓我發現一 些新的講法，或是發現我本來以為「完美無遐」的講法其實有漏洞。有時候重新推導一至幾遍過去已推過的公式，會讓我更明瞭推導過程中的關鍵概念，強化自己的 運算能力。此外，由於在兩次學習之間通常我們已經多學了某些其它的東西，因此藉著「再學一次」，往往可以發現不同學問之間的關係。根據這個看法，重修一門 課未必是不好的。

8. 老師沒教的更有趣

由 於教學時數有限，以及老師所教的範圍未必與課本內容一致，一本課本常會有老師沒教的部份。有幾類內容常常是老師不教的。第一類是老師認為你已經學過，而你 也以為你學過，因此不須要教（例如電磁學中的向量分析）。第二類是與課程主軸無直接關係，不教並不會影響連貫性（例如相對論與電磁學的關係）。第三類是太 難或太繁雜，或是老師自己也不是很懂，因此還是別教比較好，以免教錯了（這部份通常是課本作者的專業，卻不是任課老師的專業）。在我的學習過程中，我發現 這類「老師不教的內容」通常比較有趣（裡面往往會有跨學科的討論內容），而且是「累積個人功力」最好的教材。當別人都沒有學到這些內容，而你卻學到了，你 的物理功力當然就會比較強囉﹗

9. 打破界線，自由聯想

電磁波、聲波、物質波、水波，與繩波有什麼異同 ﹖本徵函數（Eigenfunctions） 與本徵向量（Eigenvectors） 有何相關性 ﹖在磁場中運動的電荷與在旋轉座標系中運動的質點有何類似性 ﹖振盪的彈簧-質塊系統與振盪的電容-電感系統有何相似性 ﹖單粒子時變性薛丁格方程式、擴散方程式，以及布朗運動這三者有何關聯性 ﹖能夠做這類自由的聯想，並努力去找答案，就能加深你對物理的體會。

有時候同一種東西會在不同的科目重複出現，但學生們通常認不出這種重複性。例如在物理系的課程中，傅立葉級數 (Fourier series) 與傅立葉轉換 (Fourier transform) 會出現在力學（波或振動）、電磁或電路學（電訊號）、近代物理或量子物理，光學，甚至高等課程中的凝態物理與量子場論。如果能打破學科之間的人為限制，將它們放在一起學，一定可以加深對各學科的關聯性的瞭解，也可以使學習者對物理的認識更有整體觀。

10. 跟老師或作者鬥智

老師或教科書的作者對某些觀念的解釋或問題的處理方式不見得是最好的，通常也不是唯一的。同一個問題，可以試試不同的處理方式。你的想法或許並不是那麼有效率，但當你找到一個成功的想法時，那種成就感是無可取代的。這種經驗可以大大的增進學習者對物理的興趣與自信心。

11. 檢驗論點的合理性與一致性

上 一段忠告是針對比較消極與沒自信的學習者，這一段則是針對過度有自信，但卻不夠嚴謹的學習者。有些人會在沒有仔細檢驗的情況下，輕易地宣稱他「建立了一個 新理論」、「推翻了前人的結果」、「發現了一個新現象」，或是「別人都做錯了」。跑程式做數值模擬的研究生，也常常會得到奇怪的模擬結果，卻渾然不知該結 果的不合理之處。其實在多數情況下，這些奇怪的結果是來自錯誤的程式內容、不合理的參數範圍，或是程式的邏輯雖然正確（可以跑），但所跑的不是原來你要電 腦跑的東西。

有 許多方法可以檢驗你所得到的結果的合理性。例如在關於電磁波散射與傳播的研究中往往需要檢驗「能量的守恆性」、「相位的連續性」、「邊界條件是否正確」、 「波長與結構尺寸的比例是否合理」、「偏振方向是否正確」等等。若討論的是解析的公式，通常可以檢驗該公式在取某種極限的情況下，是否會得到與已知的經驗 相容或一致的結果。在做這些判斷時，往往需要有一些 common sense（尺 度、大小、遠近、前後、方向、強弱、正負、軟硬、彎曲或平坦、連續與不連續、特殊或一般、概略或精準），或是對物理系統中各種參數的範圍有一個大概的瞭解 （例如空氣中的聲速是每秒三百多公尺，真空中的光一秒可以繞地球七圈半等等）。物理直觀的能耐往往就是在這些檢驗中培養起來的。

當然，有些看似不合理的結果，其實只是我們不夠瞭解，因而做了錯誤的判斷。這樣的事情會發生，但並不多見。如果一個理論或實驗的結果正確，只要它能被發表（這點並沒有保證），終究會通過重重考驗，獲得認可的。

12. 更新/更正你的知識

當 我們對物理的認識加深之後，往往會發現過去的某些想法不夠全面，或是有部份的誤解，或是根本就錯了。這時候就應該更新想法或知識。在教學的經驗中，我偶爾 會發現過去的某些陳述不正確，此時我就會告知學生我所犯的錯誤，請他們注意。若是學生能主動發現我的錯誤，那就更好了。

13. 善用寒暑假

我曾經是一個轉系生。就在我轉系的那個暑假，為了在開學後跟上物理系同學的進度，我在暑假裡自學了向量分析，一點張量分析，以及一部份的力學與電磁學。在我正式成為物理系的學生之後，我還是繼續維持這種在寒暑假學習的習慣。

我發現寒暑假裡的學習很有效果。我可以花很多時間思考並消化書中較困難的部份，而這是在開學後難以辦到的。對於已經修過的科目，如果能在在寒暑假裡重新思考並消化、整理你所學的內容，一定可以讓你對「究竟學到了什麼」有一個更清楚的認識。

14. 讀大師著作尋找啟發

有機會的話，物理學習者可以試著讀一些大師的著作。這些大師著作與一般的教科書最大的不同就在於大師不只提供知識，還交待了獲得知識的過程。它們的原創性與強烈的個人風格是在教科書中學不到的。讀這些著作可以讓學習者對物理的發展脈絡與思考途徑有更清楚的瞭解。

我讀過Einstein的幾篇相對論論文與書籍（中譯本）[2,3]、Dirac的《量子力學原理》（Principle of quantum mechanics）[4] 及《廣義相對論》（General theory of relativity）[5]、Feynman物理學演講（Feynman Lecture on Physics）的部份內容 [6]、Landau的《力學》[7]（Mechanics）與《古典場論》（Classical Theory of Fields）[8] 各一部份，以及李政道《統計力學》[9] 的部份內容。對我而言，讀這些著作的樂趣是我能從其中學到大師們如何「一磚一瓦」地建立起他們的學說，以及他們如何運用卓越的思考能力解決問題。

15. 想像力與知識缺一不可

想像力比較重要還是知識比較重要 ﹖雖然愛因斯坦曾經講過「想像力比知識更重要」(Imagination is more important than knowledge) [10]， 但我認為那是因為愛因斯坦已經很有知識了才會這麼說。對一般人而言，兩樣應該都是很重要的。若沒有基礎的物理與數學知識，通常就沒有辦法學習較進階的物理 學。由於進階的物理學通常會比較抽象，因此學習者必須要盡量發揮想像力，做許多的類比，建立起基礎物理概念與進階物理概念的連結，才比較容易理解。

我會將已弄懂的物理知識盡可能轉換成圖像或意像，甚至是「個人專用」的符號或感覺。擁有這些方便使用的工具，就比較容易思考較困難或高深的物理問題了。

16. 善用資訊科技與網路資源

拜 資訊科技（特別是影像與動畫）之賜，我們可以將許多過去難以說明的物理現象或觀念圖像化或視覺化，以幫助我們去掌握物理系統的特性。比如說，在光子晶體的 研究中，時常可以藉由電腦模擬找出電磁波在此種人工介質中的傳播特性，而且模擬結果會與實驗結果十分接近。由於模擬通常比實驗便宜，而且容易做到快速且全 面的測試，因此它除了可以取代一部份的實驗之外，還可以提供實驗特別難做的那些情況的「虛擬實驗」結果。當我們觀察了許多這種「虛擬實驗」的結果後，往往 可以建立起一些定性的物理概念，而這些概念是很難靠解析運算或是數量很少的實驗建立起來的。

在學習較基礎的物理時，也可以藉著寫一些簡單的程式而將公式的內容圖像化。例如使用Matlab軟體畫圖或是製作動畫，可以幫助學習者看到函數的形狀（如Bessel 函數、 Legendre多項式、Hermite 多項式）、電磁場的分布、機率分布，粒子的運動軌跡等等。

除此之外，還有許多網路資源可用。例如有一個叫做 Hyperphysics 的網站 [11] 提供了包括力學、電磁學、光學、聲學、相對論、熱學、凝態物理、核物理、量子物理以及天文物理的基本知識（程度大約相當於大一普通物理或是更詳細一些）。此外，只要在 Youtube 網站鍵入某些物理關鍵字（例如Quantum Mechanics），也可以找到包括MIT、Berkeley、Stanford 等許多美國知名大學的物理課程影片。讀者們可以儘量試著去利用這些免費的網路資源。

17. 身歷其境學習法—角色扮演

有時候模仿偶像是最有效的學習方法。當今有許多青少年以藝人為偶像，努力學習她/他 們的舞步或是歌唱技巧，往往能獲得不錯的成果。物理的學習也可以這麼做。找一至兩個物理偶像，例如愛因斯坦或費曼，模仿他們思考或表達的風格，甚至想像你 就是他們，並以他們的方式處理問題，這將可以幫助學習者超越個人心理的侷限，達到較大的進步。我認為這裡的關鍵其實是在模仿偶像的過程中，你必須不斷修正 自己的弱點才會跟偶像的表現愈來愈相似，這就自然而然地增加了練習的次數，也深化了學習的內容。我從中學就開始使用這個方法（當時的偶像是愛因斯坦），發 現效果很好。教書之後，更是常常參考《費曼物理學講義》的表達方式與思考風格，偶爾來個「角色扮演」自娛一下，發現很有幫助。

還有另一種意義之下的角色扮演。想像你是26歲的愛因斯坦，剛剛發明了相對論。 在那個火車是跑得最快的交通工具的時代，你會不會用火車做例子，對別人解釋你的新理論 ﹖又比如說如果你是牛頓，知道一些關於月球運動的規律，也知道克卜勒三大定律；當你被蘋果砸到時，會想到萬有引力嗎﹖做這類聯想是很有意思的，可以讓我們 更瞭解科學家們在發展他們的學說時所可能經歷的心理過程，以及這些學說誕生時的革命意義。這種對科學的人文面的探討在一般的理工課程中很缺乏，但它卻能大 大地增進學習動機與興趣。

18. 剩下的才是教育

愛因斯坦曾說﹕「當一個人忘了學校裡所學的一切，如果還剩下什麼，那個剩下的就是教育」（Education is what remains after one has forgotten everything he learned in school） [10]。如果這個講法是正確的，學生該如何下功夫，讓自己多剩下一些 ﹖我認為學生應該多多嘗試去找出物理中最能吸引他/她的「美妙」或「神奇」之處。我相信，只有當我們覺得這門學問「有意思」時，才能學得好又學得深。

三、結論

物理不是一門很容易學的學問，更不是一門容易教的學問，它對學習者與教師的要求都很高。然而，我的經驗告訴我，物理是一門非常有意思的學問。我若不是覺得物理這麼有意思，就不會花這麼多工夫寫這篇文章了。希望這篇「物理真有意思分享文」能夠對還不清楚物理該怎麼學，或是還不能體會物理的樂趣的朋友有點幫助。

四、參考文獻

[1] WolframMathWorld, Riemann Zeta Function, http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

[2] 《愛因斯坦文集》（卷1,2），凡異出版社

[3] 《狹義與廣義相對論淺說》，北京大學出版社

[4]《量子力學原理》，狄拉克/著，凡異出版社

[5] “General theory of relativity”, by P.A.M. Dirac, Princeton University Press

[6] “Feynman Lectures on Physics”, by Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands, Addison Wesley; 2nd edition

[7] “Mechanics”, by L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Butterworth-Heinemann; 3rd edition

[8] “Classical theory of field”, by L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Butterworth-Heinemann; 4th Edition

[9] 統計力學，李政道著，凡異出版社

[10] HeartQuotes™: Quotes of the Heart http://www.heartquotes.net/Einstein.html

[11] HyperPhysics :