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為什麼向心加速度等於切線速度平方除以曲率半徑( aN = V2/r)
撰文/陳育霖
方法一
假設一個物體以速率v在平面上做等速率圓週運動, 起初物體在A點速度方向如圖向右, 經過短暫時間t之後物體運動至B點運動方向如圖所示.
首先, 由幾何學知道
(1)
方程式(1)可以改寫成
當經歷時間 t 非常短暫, 則2R >> h, 所以(2R-h)當中可以將h省略, 於是
(2)
由於物體由A至B點共經過短暫時間 t, 所以所經路徑 , 代入方程式(2)
則可以得到
(3)
在方程式(3)當中, h指的是在A點運動的物體受到向心力作用之後, 向中心方向產生的位移, 依照運動學公式告訴我們
(4)
物體在A點瞬間, 沿著向心力或位移 h 方向並沒有初速度v0, 所以運動學公式應該只剩下
(5)
比較方程式(3)與(5), 可以得到加速度
(6)
數學回憶
如圖所示, ab = e2
方法二
利用平面向量可平移的性質, 將在A處的速度向量移至向量LN, 再將於B處的速度向量平移至LM, 由此可以看出△AOB相似於△NLM,
考慮加速度的”加”, 指的是速度在方向與大小量值的”改變”
圓週運動由A點初速度變成B點的末速度, 其速度的改變量為向量NM
由於△AOB相似於△NLM, 則可以發現
(1)
依照數學方法可以改成
(2)
如果物體由A點的速度改變到B點的速度, 共經歷時間t, 將方程式(2)左右兩式皆同除以經歷時間t
(3)
左式即為加速度定義, 右式當中 , 圓弧長AB除以時間t正好是圓週運動的速率, 若時間極短暫圓弧長AB正好等於線段長AB
所以加速度a可以表示為
(4)
方法三
等速率圓週運動在周期為T的情形下的平均速率v
(1)
等速率圓週運動的平均角速度
(2)
其SI制的單位是 rad/s或1/s
質點作等速率圓週運動, 在周期為T的情形下其角速度為
(3)
由方程式(1)與(3)可以得
(4)
數學家告訴我們弧長S與對應的圓心角θ, 和半徑r的關係為
(5)
所以當歷經時間很短或Δθ角度變化小時速度變化的量值大小Δv可以直接視為Δθ所對應的弧長, 對應方程式(5)得到如下的關係,
(6)
因為是等速率圓週運動, 所以速度v1與v2的量值皆為v.
依加速度的定義, 向心加速度的大小為
(7)
當然若以微積分表示得更仔細則需要寫成
(8)
由程式(1)(3)(4)代入方程式(7)
(9)
撰文/陳育霖
方法一
假設一個物體以速率v在平面上做等速率圓週運動, 起初物體在A點速度方向如圖向右, 經過短暫時間t之後物體運動至B點運動方向如圖所示.
首先, 由幾何學知道
(1) 方程式(1)可以改寫成
當經歷時間 t 非常短暫, 則2R >> h, 所以(2R-h)當中可以將h省略, 於是
(2)由於物體由A至B點共經過短暫時間 t, 所以所經路徑 , 代入方程式(2)
則可以得到
(3)在方程式(3)當中, h指的是在A點運動的物體受到向心力作用之後, 向中心方向產生的位移, 依照運動學公式告訴我們
(4)物體在A點瞬間, 沿著向心力或位移 h 方向並沒有初速度v0, 所以運動學公式應該只剩下
(5)比較方程式(3)與(5), 可以得到加速度
(6)數學回憶
如圖所示, ab = e2
方法二
利用平面向量可平移的性質, 將在A處的速度向量移至向量LN, 再將於B處的速度向量平移至LM, 由此可以看出△AOB相似於△NLM,
考慮加速度的”加”, 指的是速度在方向與大小量值的”改變”
圓週運動由A點初速度變成B點的末速度, 其速度的改變量為向量NM
由於△AOB相似於△NLM, 則可以發現
(1)依照數學方法可以改成
(2)如果物體由A點的速度改變到B點的速度, 共經歷時間t, 將方程式(2)左右兩式皆同除以經歷時間t
(3)左式即為加速度定義, 右式當中 , 圓弧長AB除以時間t正好是圓週運動的速率, 若時間極短暫圓弧長AB正好等於線段長AB
所以加速度a可以表示為
(4)方法三
等速率圓週運動在周期為T的情形下的平均速率v
(1)等速率圓週運動的平均角速度
(2)其SI制的單位是 rad/s或1/s
質點作等速率圓週運動, 在周期為T的情形下其角速度為
(3)由方程式(1)與(3)可以得
(4)數學家告訴我們弧長S與對應的圓心角θ, 和半徑r的關係為
(5)所以當歷經時間很短或Δθ角度變化小時速度變化的量值大小Δv可以直接視為Δθ所對應的弧長, 對應方程式(5)得到如下的關係,
(6)因為是等速率圓週運動, 所以速度v1與v2的量值皆為v.
依加速度的定義, 向心加速度的大小為
(7)當然若以微積分表示得更仔細則需要寫成
(8)由程式(1)(3)(4)代入方程式(7)
(9)
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