冒牌自然老師

引自戴世強的博客

在昨天的博文中談及了“應用數學過程”，明確指出：在實施應用數學過程中，數學建模起了核心作用。作為數理科學的科研工作者必須學會數學建模，這是管用一輩子的本領。建模方法千變萬化，我這裏只能講一個梗概，要學會建模本事，需要再讀一些著述，更重要的是邊幹邊學，在建模中學建模。

本文概述數學建模的涵義、過程、分類和一個著名例子。

（1）數學建模的一般涵義

數學建模——根據需要針對實際問題構建數學模型的過程，亦即，通過抽象和簡化，使用數學語言對實際現象和實際問題進行近似刻畫，以便於更深刻地認識所研究的物件。

數學模型不是對現實系統的簡單的複製和模擬，而是經過對現實現象進行分析、提煉、歸納、昇華的結果，是以數學語言來正確地描繪現實物件的基本內在特徵，從而通過數學上的演繹推理和分析，運用解析、實驗（保持相似律成立）或數值求解。

整個建模過程要注意高瞻遠矚、抓大放小，把握問題的內在本質。當研究問題有了正確的數學描述後，尋找適當的數學工具分析求解。關於求解方法的改進方面，要盡可能使所用的方法精確化、細緻化和全面化。必須結合實例，就建模的正確性、有效性、可用性和適用範圍進行準確的界定；對所產生的誤差和不確定性進行實事求是的分析；對所得的結果，必須從物理學視角和實際應用角度進行解讀。

（2）數學建模的一般過程

首先，基於一系列基本的簡化假設，把實際問題中的數學描繪明確地表述出來，也就是說，通過對實際問題的分析、歸納、簡化，給出用以描述該問題的數學提法；然後採用數學的理論和方法進行求解，得出結論；最後再返回去闡釋所研究的實際問題，總結一般規律，即實現第一章中所述的“應用數學過程”，在數學理論和所要解決的實際問題之間構建一座橋樑。

具體來說，數學建模的步驟如下：

＊通過調研，掌握實際問題的背景材料。明確研究物件（如物理問題、工程問題）和研究目的，瞭解相關的資料資料和基本事實（包括已有理論結果、觀察結果、觀測資料、實驗資料等），提出清晰的基本目標，並在實際研究過程中隨時準備不斷修正預期目標；

＊辨識並列出與問題有關的各主要因素。建立基本假設，簡化所研究的問題。明確模型中必須考慮的主要因素，預測、分析它們在問題中的作用，以變數或參數的形式表示這些因素。建模之初通常應最大限度地簡化問題，建立最簡單的模型，然後不斷調整假設，提出修正，使得模型盡可能接近實際；

＊運用物理和數學知識和技巧建立問題中變數之間的關係。通常可以用離散的或連續的數學運算式來描述，例如，比例關係（如：牛頓粘性定律）、線性關係（如：廣義牛頓粘性定律、胡克定律等）、非線性關係（如：非牛頓流體的本構關係、物理非線性材料的本構方程）、經驗關係（如：反映非光滑管的阻力係數的尼古拉捷規律、水動力學摩阻的Manning公式等）、輸入輸出原理（如：元胞自動機模型的演進規則）、平衡原理（如：熱動平衡規律、捕食者和獵物之間的關係等）、守恆原理（如：能量守恆、品質守恆、動量守恆、KdV守恆律等）、牛頓運動定律、微分方程或差分方程、矩陣關係、概率關係、統計分佈等等（變數之間的關係不一定非要用方程來描述，只要能解決問題，可用各種方法確定問題的物理量之間的關係，例如離散映射關係），從而建立問題的數學模型。常見的表述各物理量之間的關係的有：代數方程，映射關係，差分方程，常微分方程，偏微分方程，積分方程，積分-微分方程等等；

＊進行參數辨識或參數標定。使用觀測資料或問題的相關背景知識，辨識出問題中的參數的估計值；設計專門實驗，標定參數。參數識辨和標定經常採用實測方法和數理統計方法。由於問題的參數識辨較為困難，所以成功的模型應該是簡單的，所涉及參數盡可能地少且容易識辨；

＊運用所得的模型，進行分析求解。採用各種有效的數學工具求解所得到的數學方程等，然後，分析、解釋模型的結果或把模型運行的結果與實際觀測進行比較，開展進一步的案例分析，驗證模型的正確性；

＊總結一般規律。對驗證成立的數學模型進行總結歸納，盡可能上升到新的理論高度。


圖3.1 數學建模的應用數學過程

運作要點：
a.掌握第一手資料；
b.抓住問題的主要因素；
c.建立真實合適的模型；
d.比照實際。

（3）數學模型的分類

按數學表述的形式分：連續模型；離散模型；
按表述的確定性分：確定性模型；非確定性模型（隨機模型）；混合模型；
按問題的求解步驟分：正問題模型；反問題模型；
按數學物理工具分：基於量綱分析的輪廓模型；
基於資料擬合的經驗模型；
基於守恆原理的方程模型；
基於平衡原理的機理模型；
基於運籌優化的規劃模型；
基於網路分析的圖論模型；
基於複雜性研究的層次分析模型等等。

（4）數學建模的經典範例

哥尼斯堡七橋問題——圖論模型的典範

問題：哥尼斯堡城有一條河，現在用七座橋來連接河的兩岸A、B和河中兩島C、D（如圖3.2所示），試問：可否一次性不重複地走過這七座橋？

模型：1734年，Euler解決了這個問題。他把問題抽象簡化為圖論中的一筆劃問題：數學上可證明：一筆劃的基本要求是各點要有偶數條起迄路徑，但是本題四點起迄路徑均為奇數條，從而不可實現一筆劃。即不能一次性不重複走過這七座橋。


圖3.2 哥尼斯堡城七橋問題示意圖

以上對數學建模給出了一個概論，日後將繼續予以深化敍述。