-丘成桐
引自數學傳播30卷1期, pp. 3-14
很多人會覺得我的講題有些奇怪，中國文學與數學好像是風馬牛不相及，但我卻討論它。其實這關乎個人的感受和愛好，不見得其他數學家有同樣的感覺，“如人飲水，冷暖自知”。每個人的成長和風格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的關係。我幼受庭訓，影響我至深的是中國文學，而我最大的興趣是數學，所以將他們做一個比較，對我來說是相當有意義的事。
一、數學之基本意義
數學之為學，有其獨特之處，可說是人文科學和自然科學的橋樑。
數學家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規律，用數學的方法表達出來。這裏所說的大自然比一般人所瞭解的來得廣泛，我們認為數字、幾何圖形和各種有意義的規律都是自然界的一部分，我們希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來。
數學是一門公理化的科學，所有命題必需由三段論證的邏輯方法推導出來，但這只是數學的形式，而不是數學的精髓。大部分數學著作枯燥乏味，而有些卻令人歎為觀止，其中的分別在哪里？
大略言之，數學家以其對大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，後者則取決於個人的氣質，氣質與文化修養有關，無論是選擇懸而未決的難題，或者創造新的方向，文化修養皆起著關鍵性的作用。文化修養是以數學的功夫為基礎，自然科學為輔，但是深厚的人文知識也極為要緊，因為人文知識也致力於描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫《史記》除了“通古今之變”外，也要“究天人之際”。
劉勰《文心雕龍》以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。歷代大數學家如阿基米德如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數學之所出，即有微積分的創作。費爾瑪和尤拉對變分法的開創性發明也是由於探索自然界的現象而引起的。
廣義相對論提出了場方程，它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的物件，因為它能賦予空間一個調和而完美的結構。我研究這種幾何結構垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同《詩經》《楚辭》的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。
在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結構是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。儘管其他幾何學家都不相信它存在，我卻鍥而不捨，不分晝夜地去研究它，“雖九死其猶未悔”。
我花了五年工夫，終於找到了具有超對稱的引力場結構，並將它創造成數學上的重要工具。當時的心境，可以用以下兩句來描述：“落花人獨立，微雨燕雙飛。”
以後大批的弦理論學家參與研究這個結構，得出很多深入的結果。剛開始時，我的朋友們都對這類問題敬而遠之，不願意與物理學家打交道。但我深信造化不致弄人，回顧十多年來在這方面的研究尚算滿意，現在卡拉比——丘空間的理論已經成為數學的一支主流。
二、數學的文采數學的文采，表現於簡潔，寥寥數語，便能道出不同現象的法則。
我的老師陳省身先生創作的陳氏類，就文采斐然，令人讚歎。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變數，在現象界中成為物理學界求量子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明“采菊東籬下，悠然見南山”的意境。
從歐氏幾何的公理化，到笛卡兒創立的解析幾何，到牛頓、萊布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創立的內蘊幾何，一直到與物理學水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富於變化為宗，其文采絕不遜色于任何一件文學創作，它們軔生的時代與文藝興起的時代相同，絕對不是巧合。
數學家在開創新的數學想法的時候，可以看到高雅的文采和嶄新的風格，例如歐幾裏得證明存在無窮多個素數，開創反證法的先河。高斯研究十七邊形的對稱群，使伽羅華群成為數論的骨幹。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩的始祖蘇李唱和詩和詞的始祖李太白的《憶秦娥》。
中國詩詞都講究比興，有深度的文學作品必須要有“義”、有“諷”、有 “比興”。數學亦如是。我們在尋求真知時，往往只能憑已有的經驗，因循研究的大方向，憑我們對大自然的感覺而向前邁進，這種感覺是相當主觀的，因個人的文化修養而定。
文學家為了達到最佳意境的描述，不見得忠實地描寫現象界。數學家為了創造美好的理論，也不必依隨大自然的規律，只要邏輯推導沒有問題，就可以盡情地發揮想像力，然而文章終究有高下之分。大致來說，好的文章“比興”的手法總會比較豐富。
數學上常見的對比方法乃是低維空間和高維空間現象的對比。我們雖然看不到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現象，並由此來推測高維的變化。我在做研究生時企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空間，得到一些漂亮的猜測，我認為曲率的正或負可以作為複結構的指向，這個看法影響至今，可以溯源到十九世紀和二十世紀初期曲率和保角映射關係的研究。
事實上，愛因斯坦的廣義相對論也是對比各種不同的學問而創造成功的，它是科學史上最偉大的構思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統一了古典的引力理論和狹義相對論。愛氏花了十年功夫，基於等價原理，比較了各種描述引力場的方法，巧妙地用幾何張量來表達了引力場，將時空觀念全盤翻新。
同文學極為相似的是，從局部結構發展到大範圍的結構也是近代數學發展的過程，往往通過比興的手法來處理。幾何學和數論都有這一段歷史，代數幾何學家在研究奇異點時通過爆炸的手段，有如將整個世界濃縮在一點。微分幾何和廣義相對論所見到的奇異點比代數流形複雜，但是也希望從局部開始，逐漸瞭解整體結構。數論專家研究局部結構時則通過素數的模方法，將算術流形變成有限域上的幾何，然後和大範圍的算術幾何對比，得出豐富的結果。
由於文學家對事物有不同的感受，同一事或同一物可以產生不同的吟詠。對事物有不同的感受後，往往通過比興的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主，屈原《九章》：“結微情以陳詞兮，矯以遺夫美人。”也可以指品德美好的人，《詩經•邶風》：“雲誰之思，西方美人。”蘇軾《赤壁賦》： “望美人兮天一方。”
數學家對某些重要的定理，也會提出很多不同的證明。例如畢氏定理的不同證明有十個以上，等周不等式亦有五六個證明，高斯則給出數論對偶定律六個不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個事實，往往引導出數學上不同的發展。
記得三十年前我利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大體積後，幾何學家Gromov開始時不相信這個證明，以後他找出我證明方法的幾何直觀意義後，發展出他的幾何理論，這兩個不同觀念都有它們的重要性。
對空間中的曲面，微分幾何學家會問它的曲率如何，有些分析學家希望沿著曲率方向來推動它一下看看有甚麼變化，代數幾何學家可以考慮它可否用多項式來表示，數論學家會問上面有沒有整數格點。這種種主觀的感受由我們的修養來主導。
三、數學的品評與演化
江山代有人才，能夠帶領我們進入新的境界的都是好的數學。
好的工作應當是文已盡而意有餘，大部分數學文章質木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創意的文章，未必為時所好，往往十數年後始見其功。
我曾經用一個嶄新的方法去研究調和函數，以後和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的讚賞，直到最近五年大家才領會到它的潛力。然而我們還是鍥而不捨地去研究，覺得意猶未盡。
數學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學有很重要的功用，但是以後很多數學家為了研究這種空間而不斷推廣，例如有界運算元是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數學大流上卻未有激起任何波瀾。
能經得起時間考驗的工作寥寥無幾，政府評審人才應當以此為首選。歷年來以文章篇數和被引用多寡來做指針，使得國內的數學工作者水準大不如人，不單與自然隔絕，連華麗的文章都難以看到。
數學的演化和文學有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進，另一方面是對自然界有進一步的瞭解，將原來所認識的數學結構的美發揮盡至後，需要進入新的境界。江山代有人才，能夠帶領我們進入新的境界的都是好的數學。上面談到的高維拓撲文氣已盡，假使它能與微分幾何、數學物理和算術幾何組合變化，亦可振翼高翔。
當一個大問題懸而未決的時候，我們往往以為數學之難莫過於此。待問題解決後，前途豁然開朗，看到比原來更為燦爛的火花，就會有不同的感受。科學家對自然界的瞭解，都是循序漸進，在不同的時空自然會有不同的感受。有學生略識之無後，不知創作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見識更為豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進步。即如《莊子》所言：“今爾出於崖縵，觀于大海，乃知爾醜，爾將可與語大理矣。”
我曾經參觀德國的葛庭根大學，看到十九世紀和廿世紀偉大科學家的手稿，他們傳世的作品只是他們工作的一部分，很多傑作都還未發表，使我深為慚愧而欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍微改動，據為己有，儘快發表。或申請院士，或自炫為學術宗匠，于古人何如哉。
四、數學的意境與感情
氣有清濁，如何尋找數學的魂魄，視乎我們的文化修養。
王國維在《人間詞話》中說：“詞以境界為最上。有境界則自成高格。”他並因此而區分了“造境”與“寫境”，“有我之境”與“無我之境”等。
數學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境，當年尤拉開創變分法和推導流體方程，由自然現象引導，可謂無我之境，他又憑自己的想像力研究發散級數，而得到zeta函數的種種重要結果，開三百年數論之先河，可謂有我之境矣。
不少偉大的數學家，以文學、音樂來培養自己的氣質，與古人神交，直追數學的本源，來達到高超的意境。
為了達到深遠的效果，數學家需要找尋問題的精華所在，需要不斷培養我們對問題的感情和技巧，這一點與孟子所說的養氣相似。氣有清濁，如何尋找數學的魂魄，視乎我們的文化修養。
我的朋友Hamilton 先生，他一見到問題可以用曲率來推動，就眉飛色舞。另外一個澳洲來的學生，見到與愛因斯坦方程有關的幾何現象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學者，文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對自然界、對數學問題沒有感情的現象，反而對名位權利特別重視。為了院士或政協委員的名銜而甘願千里僕僕風塵地奔波，在這種情形下，難以想像他們對數學、對自然界有深厚的感情。
數學的感情是需要培養的，慎于交友才能夠培養氣質。博學多聞，感慨始深，堂廡始大。
濃厚的感情使我們對研究的物件產生直覺，這種直覺看物件而定，例如在幾何上叫做幾何直覺。好的數學家會將這種直覺寫出來，有時可以用來證明定理，有時可以用來猜測新的命題或提出新的學說。
但數學畢竟是說理的學問，不可能極度主觀。《詩經》“蓼莪”“黍離”，屈原《離騷》《九江》，漢都尉河梁送別，陳思王歸藩傷逝，李後主憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書成、直抒胸臆，非論證之學所能及也。
五、數學的應用與訓練
解除名利的束縛，俾欣賞大自然的直覺毫無拘束地表露出來，乃是數學家養氣最重要的一步。
數學除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數學問題都是純工程上的問題。有些數學家畢生接觸的都是現象界的問題，可謂入乎其內。大數學家如尤拉、如富裏哀、如高斯、如維納、如馮紐曼等都能入乎其內，出乎其外，既能將抽象的數學在工程學上應用，又能在實用的科學中找出共同的理念而發展出有意義的數學。反過來說，有些應用數學家只用計算器作出一些計算，不求甚解，可謂二者皆未見矣。
近代有些應用數學家以爭取政府經費為唯一目標，本身無一技之長，卻巧立名目，反誣告基本數學家對社會沒有貢獻，盡失其真矣。有如近代小說以情欲、仇殺、奸詐為主題，取寵于時俗，不如太史公《刺客列傳》中所說：“自曹沫至荊軻五人，此其義或成或不成，然其立意較然，不欺其志，名垂後世，豈妄也哉。”
應用數學家不能立意較然，而妄談對社會有貢獻，恐怕是緣木求魚了。
好的數學家需要領會自然界所賦予的情趣，因此也須向同道學習他們的經驗。然而學習太過，則有依傍之病。顧亭林雲：“君詩之病在於有杜，君文之病在於有韓，歐。有此蹊徑於胸中，便終身不脫依傍二字，斷不能登峰造極。”
今人習數學，往往依傍名士，凡海外畢業的留學生，都為佳士，孰不知這些名士泰半文章與自然相隔千萬裏，畫虎不成反類犬矣。很多研究生在跟隨名師時，做出第一流的工作，畢業後卻每況愈下，就是依傍之過。更有甚者，依傍而不自知，由導師提攜指導，竟自炫“無心插柳柳成蔭”，難有創意之作矣。
有些學者則倚洋自重，國外大師的工作已經完成，除非另有新意，不大可能再進一步發展。國內學者繼之，不假思索，頂多能夠發表一些二三流的文章。極值理論就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg發展出來的過山理論，文意已盡，不宜再繼續了。
推其下流，則莫如抄襲，有成名學者為了速成，帶領國內學者抄襲名作，竟然得到重視，居廟堂之上，腰纏萬貫而沾沾自喜，良可歎也。
數學家如何不依傍才能做出有創意的文章？
屈原說：“紛吾既有此內美兮，又重之以修能。”如何能夠解除名利的束縛，俾欣賞大自然的直覺毫無拘束地表露出來，乃是數學家養氣最重要的一步。
媒體或一般傳記作者喜歡說某人是天才，下筆成章，仿佛做學問可以一蹴而就。其實無論文學和數學，都需要經過深入的思考才能產生傳世的作品，所謂“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”。
一般來說，作者經過長期浸淫，才能夠出口成章，經過不斷推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王閣序》，麗則麗矣，終不如陶淵明《歸去來辭》、庾信《哀江南賦》、曹植《洛神賦》諸作來得結實。文學家的推敲在於用字和遣辭。張衡《兩京》、左思《三都》，構思十年，始成巨構，聲聞後世，良有以也。數學家的推敲極為類似，由工具和作風可以看出他們特有的風格。傳世的數學創作更需要有宏觀的看法，也由鍛煉和推敲才能成功。
三十年來我研究幾何空間上的微分方程，找尋空間的性質，究天地之所生，參萬物之行止。樂也融融，怡然自得，溯源所自，先父之教乎。
講演者小傳
丘成桐
原籍中國廣東，後遷居香港，1966年進入香港中文大學數學系。1971年獲美國柏克萊加州大學柏克萊分校博士學位。1987年獲美國哈佛大學名譽博士學位。曾任美國史丹佛大學、普林斯頓高等研究院、加州大學聖地牙哥分校數學教授；1987年至今，任哈佛大學數學教授。第一項重要研究成果是解決了微分幾何的著名難題——卡拉比猜想，並解決了高維閔考夫斯基問題，證明了塞凡利猜想等，由此成為第一位榮獲菲爾茲獎的華裔人士。
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