冒牌自然老師

量子力學的形式體系與核心概念的一些注記（轉自中國論壇）

前言
對於學習物理的同學來說量子力學是必須的，我一直在想可能是國內流行的一些教 材的失誤造成了大多數人對著門學科的難以掌握，就算你能解題，也基本上 是概念茫然，當然，有時連題目都不知道什麼意思，更不知如何下手，有時，算著算著突然不知道意思了，......其實這些都不是咱們的錯。想起當年本人上 課時，量子老師（老牛人）說，"現在教量子的那些人那裏懂量子呀！"哥們當時只是笑。現在才明白果然不錯。其實，目前而言，在下對量子也是剛入點門而已， 不過，對於國內的考研量子力學題我現在是把握全部搞定的，要是當初就這麼猛就好了.我把一些想法寫下來算是拋磚引玉

正文

（一） 選書的建議
對於量子力學的學習，最重要的是概念的清晰把握，只有明白了量子力學的形式體系才能感到量子好神秘美，才會在解題時不至於找不到北。真正的掌握它的概念需要學習Hilbert空間的知識和Dirac符號體系，又以後者最為重要。愚蒙認為 ：
優秀的量子力學書的最重要的標準是：
第一，深入淺出的講解Hilbert空間和大量篇幅，透徹的講授Dirac符號，
第二，應該明確指出量子力學的5到6 條基本原理或假設，
第三，關鍵性的步驟或概念一定要指出.
下面就以上原則分析一下國內的流行教科書
1 曾謹言《量子力學導論》
2 周世洵《量子力學》
3 尹鴻鈞《量子力學》
4 蘇汝鏗 《量子力學》
首 先，我想說得是國內沒有一本面向初等量子力學的教科書把概念說明白的，尤其，以北大的曾謹言先生《量子力學導論》為首，此書發行量巨大，我上本科時就是用 它的。坦白說。它的錯誤很少,但這決不是好書的標準，對於Dirac符號就寫了兩頁，而且語焉不詳，關鍵地方幾乎沒有說。我想，就算P A M.Dirac親臨也估計看不太明白。：），至於曾老師的《量子力學》第一。二卷，的確詳細，不過缺點仍然一樣，作為研究生教材，沒有完整的理論體系，當 字典用到行，可以作參考書，不適合當教材。
復旦的周世洵先生寫的《量子力學》相比而言比曾謹言的強了不少，雖然年代久了點，但講解較為透徹，步驟也詳細點，。當然對付考研也不用與時俱進，老一點沒什麼問題。
科 大的尹鴻鈞先生編的《量子力學》是面向本科和研究生的教材，對於本科來說難了點,關於 Hilbert空間和Dirac符號都寫的比較多，但沒形成主線，比較可惜。另外編排有點亂，印刷太差，不知第二版（？）有無改進？我想如果修改一下使之 完全面向初等量子力學倒也不錯。
復旦大學，蘇汝鏗先生的《量子力學》在以上幾本書中算是優秀的了，進本上繼承了周世勳先生的風格，並有所創新。講 解透徹，覆蓋面也很廣。最近，我在 書店看到了高教版的蘇先生的《量子力學》，這本書包括研究生課的內容，對於Dirac符號倒也多說了一些，不過，並不是以Dirac符號為主線的，因此， 仍不令人滿意，想以此書弄懂量子力學基本上也是做夢。
到目前為止我所看過的最好的初等或高等量子力學入門書是法國Cohen等人著的 《Quantum Mechanics》英文版，第一卷第一分冊有中譯本，劉家莫，等譯。全書厚度驚人，英文版的上下兩冊有半尺厚，不過看起來很爽，全書行文流暢，且有助於 英文寫作的提高，呵呵。且正文與補充文章分列，初學者可以選擇閱讀，整個內容以初等量子開始，在第二章就詳盡地，深入淺出的講述了量子力學的主要數學工具 Hilbert空間的知識和Dirac符號，注意：學懂量子力學原理的最重要的工具。我想是：Hilbert空間的形象化與Dirac符號的熟練運用。把 原理與數學統一起來就基本明白了量子力學。把這本書搞懂《高量》就幾乎不用學了。
注：Cohen是個很厲害的物理學家，NOBEL PRIZE 獲得者，1997年與朱隸文等一起獲獎，而且，他幾十年前錯過了一次獲獎機會，不然就兩次了。
最後，我想補充的是想學明白量子力學，看"初量"是沒有前途的，也是不可能的，因為初量基本不涉及Hilbert空間的知識和Dirac符號體系。如果把看初量的精力花在一部優秀的高量書上會使你迅速掌握其精髓。說實在的看書還是看經典原著最好。
我覺得Hilbert空間的知識和Dirac符號並不是很抽象也並不難懂，鑒於它們對於量子力學的理解如此重要，希望教育部老師們重新修改本科生量子力學的教學大綱，將其納入初量中，詳細講述。
下面談談高量方面的書籍,
高 量方面名著很多，大多是國外的。流傳的量子四大名著是：Neumann的，Heisenberg的，Pauli的，Dirac的。又以Dirac 的《The Principles of Quantum Mechanics》最有名，號稱王者之聲。也是我唯一看過的一遍的。其中第四版有中譯本，陳鹹亨譯，只有三百多頁，建議大家找一找，複印一下。書中的精 華是（注：俺的看法，沒什麼權威性。）建立了量子物理的形式體系，統一了不同繪景,表像的形式表述，強調了物理思想的形成過程。其實看過了這本書我才體會 到學習物理是為了修改它,更好的表達這個宇宙的運動規律，超越人類意識經驗的束縛。哈哈，越扯越遠了。
另外著名的教材有：
朗道和Lifshitz著的《Quantum Mechanics,Non-relativistic Theory.》，
Schiff的《Quantum Mechanics》有中譯本，
朗道的書，超級名著，複印了還沒看，很難的說，
席夫的量子力學也是名著，講的很廣，中規中矩的，看之欲睡。
國內的高量教材似乎比初量的強多了。比如，
北師大 喀興林先生，著的《高等量子力學》，
復旦 倪光炯先生， 陳蘇卿先生合著的《高等量子力學》，
北大 張啟仁先生的《量子力學》，
北大 曾謹言先生的 《量子力學》兩卷
楊澤森先生的《高等量子力學》
張永德先生的《量子力學》，
徐在新先生的《高等量子力學》。等
下面大概評價一下其中幾本，
喀 興林先生著的《高等量子力學》，本人推許為中國第一高量教材，全書數學討論非常嚴謹，邏輯清晰無比，第一章和第二章分別討論Hilbert空間與量子力學 的理論結構，更是將Dirac符號置於Hilbert空間的數學基礎之上，進行嚴格分析，幾乎將我對量子力學概念的所有疑惑都一掃而空,那種感覺真是奇爽 無比！！喀先生是全國高校量子力學研究會理事長，可見其在國內地位,真是名副其實。如果要說缺點的話，我覺得這本書更適合作為物理研究生學習高量的第二次 教材，而第一次學習時應選一本數學討論不那麼嚴格的，可讀性較強的高量教材。然後，通讀喀先生的《高等量子力學》以全面梳理概念和體系。喀先生對於算符代 數有很大發展，使全書看起來十分優美，為了追求形式和邏輯之間的統一，喀先生甚至沒有將費曼的路徑積分寫進書中，有點遺憾。不過，費曼曾經寫過一本論述路 徑積分的專著而且通俗易懂，大家可以直接看此書。
復旦 倪光炯先生，陳蘇卿先生合著的《高等量子力學》,論述較為前沿，用墨好省啊，限制了她的可讀性，說不準也是哥們道行不夠。該書的包含了大量現代量子力學前沿課題，並對很多問題有自己獨特見解，是其很大優點。總體來說，不宜作為教科書自學。
徐在新先生的《高等量子力學》講解深入淺出，通俗易懂，行文流暢，只是散射和相對論量子力學方面有些不夠，總體而言，很好的入門書籍，尤其是第一章（量子力學的一般描述）講的極好，可迅速掌握Dirac符號精髓。
楊澤森先生的《高等量子力學》，早就聽說寫的無比複雜，尤其是散射一章，沒人看的懂。哥們本來不信，找來一看，果然名不虛傳。
曾謹言先生的《量子力學》一二卷 哥們前文說過了，不錯的工具書。
其他的書，我只是見過，沒看過，大家可以參考其他文章。比如，Fang的http://fangwu.org/index.shtml

(二) 量子力學的形式體系與基本概念淺議
（個人意見，如有錯誤，......）
重要概念：
一.Hilbert空間
1． 量子力學中強調的態向量是所謂的Hilbert空間中的向量，什麼是Hilbert空間哪？ 相信線形空間大家都明白，Hilbert空間是一種泛函空間，在線形空間上加上內積運算，並且滿足完全性條件的內積空間。量子力學所用的Hilbert空 間是複數域上的Hilbert空間。
2．Hilbert空間可以是有限維，無限維，連續不可數維或分立維。
3．簡單說描述態矢的坐標系就 是所謂的表像，而描述態矢隨時間的演化 就是繪景，比如說：薛定諤繪景，海森堡繪景，狄拉克繪景（相互作用）。不同的繪景在不同的表像中來表達就形成了不同的方程，比如說，薛定諤繪景在座標表像 中的表述就是著名的Schrodinger 方程。同一態矢在不同表像中有不同的表達，但是他們都是Hilbert空間中的同一向量，就像是歐幾裏得空間中同一向量在不同坐標系中有不同的表示，不同 的表像（坐標系）之間存在表像（座標）變換。即所謂的麼正變換。而力學量在不同表像中是相似變換的關係。
4．所謂波函數，我發現初量書都不區分波 函數和態矢的概念。而是混用之。以曾謹言的書為例，波函數Ψ(x)首先用來表示幾率幅，它的模方正比於出現 的幾率。所謂，幾率幅是個重要概念，表示態矢在一個表像的一個基矢上的投影的值。（寫到這裏，我才發現還沒解釋基矢，555555～，無奈啊！！）幾率幅 的模方正比於力學量取該態矢本征值的幾率。而另一方面Ψ（x，t）又用來表示態向量，即等價與一個右矢，所以，座標表像中的一個本征矢用
Ψ(x,t) |x>來表示才更確切。以前學初量時我對此是有點迷糊的。
基矢就是一個或一組力學量的共同本征矢，並使之正交歸一化。一個或一組力學量所有的基矢即在希爾伯特空間中張成一個表像，通俗點說就是一個坐標系。力學量是希爾伯特空間中的張量，一般是二階的，即為矩陣。
二．狄拉克符號
把希爾伯特空間一分為二，互為對偶的空間，就是狄拉克符號的優點。
用右矢|α>表示態矢，左矢<α|表示其共厄向量，<α|＝|α>＋。
<α|β>是內積，值是一個複數。<α|α>大於等於0，稱為模方。所謂的歸一化就是用
|α>除以<α|α>的平方根。
|β><α|是外積。這是個算符。
用A,B,C等表示算符，(A|α>)＋=<α|A＋,如果A=A＋,是厄米算符，
(<α|A|α>)＋=<α|A＋|α>=<α|A|α>,就是所謂的厄米算符的期望值（平均值）是實數。
注意的是：幾種表示的意義：|α> 是右矢，<α|是 左矢，A表示算符，A|α>表示一個右矢，<α|A表示一個左矢，而且，A總是從左方作用於右矢，從有右方作用于左矢的。
<α|A|β>是一個複數，可以看成（<α|A|）|β>即一個左矢與一個右矢的內積；或者
<α|（A|β>），即一個右矢與一個左矢的內積。這是一個定義了。
三．量子力學的基本原理：
原理一. 描寫微觀狀態的數學量是希爾伯特空間中的向量，相差一個複數因數的兩個向量，描寫同一狀態。
原 理二. 描寫微觀狀態物理量的是希爾伯特空間中的厄米算符；物理量所取的值是，是相應算符的本征值；物理量A在狀態|Ψ>中取各值ai概率，與態向量 |Ψ>按A的歸一化本征向量{|ai>}的展開式中|ai>的係數的複平方成正比，即與下式中ci的複平方成正比：
|Ψ>=∑|ai>ci ci=< ai|Ψ>
波包的坍縮：處於|Ψ>態的系統，如果測量物理量A得值ai 則該系統測量後進入A的本征態|ai>。
原理三. 微觀系統的粒子在直角坐標下位置算符X，正則動量P滿足對易關係：
[Xi Pj]=ih /2πδij
原理四. 微觀狀態隨時間的變化規律是薛定諤方程。
原理五. 描寫全同粒子系統的態向量，對於任意一對粒子的變換是對稱和反對稱的，即為：波色子和費米子。反映了全同粒子的不可分辨性。
所謂態疊加原理喀先生說得很好，既要強調疊加態與與每個分立態的聯繫，更要強調他們的區別。Dirac說：處於疊加態|Ψ>的系統，部分得處於|Ψ1>，部分的處於|Ψ2> ......，
也可以說，處於疊加態|Ψ>的系統，既不是|Ψ1>態，也不是|Ψ2>態，......，是一個新態。
就是這麼多內容了，以上都是理解量子力學概念的數學工具和基本原理。
總結
明白了量子力學的形式體系後，還要學習很多具體的應用，技巧，思想方法，總是覺得數學不夠用，老是翻附錄，找課本，哥們也是如此，無奈啊